Principes géométriques

 

Quelques principes de géométrie dans l'espace

pour comprendre la géométrie des surfaces pliées.

  Cette page ne prétend pas développer toute la géométrie dans l'espace, aux théorèmes fort compliqués, alors que des spécialistes se feront un plaisir de se pencher dessus. Nous abordons ici quelques principes facilement abordables intuitivement, utiles et suffisants pour étudier notre aile de libellule, si délicate et si incroyablement sophistiquée. Donc pas de panique.

Si vous avez des idées ou des informations qui pourraient faire avancer l'étude, je vous invite cordialement à me contacter. C'est un travail progressif que je tiens à jour au fur et à mesure.

 

  Une première définition très simple : Prenez une feuille de papier, froissez-la entre vos mains. Vous obtenez une surface pliée extrêmement complexe, formée de plis et de surfaces planes ou courbes.

 

Typologie des plis de surfaces pliables.

 

1plis parallèles :

 

Utilisé en architecture (toitures, parois de tôles), souvent sous forme d’ondulations en carrosserie (la tôle ondulée). C’est le mode le plus simple pour transformer une surface plane en structure tridimensionnelle rigide. Faites vos maquettes vous-même avec du bristol.

G30G30

 

Par commodité on distinguera les plis hauts, et les plis bas. On les appellera aussi plis sortants et plis rentrants. On parlera également du signe d’un plis par rapport à un autre. Sachant que le retournement de la pièce implique l’inversion des signes des plis. La répartition par alternance procure une triangulation verticale rigide.

Noter que toute structure en surface pliée suppose des points d’ancrage disposés correctement qui maintiennent l’ensemble géométral sur une base dimensionnelle. (par exemple : écartement des plis bas, rentrants, fixés sur une base porteuse. Aile de libellule : L’ancrage des nervures racinaires conditionne l’ensemble de l’aile, auquel s’ajoute vraisemblablement la capacité de rigidité organique des plis.

 

S’il n’est pas fixé, le plan limitrophe d’une structure pliée est dit libre, c’est à dire que son angle peut varier sans qu’il y ait de variation géométrale sur le reste de la structure. (voir le bord d'attaque de l'aile).

 

Note : Les plis ne sont pas forcément des droites. Ils peuvent être courbes. Cela conditionne la forme tridimensionnelle finale.

G30aG30a

 

La diversité des formes et de l’assemblage des plis comporte des limites selon des lois géométriques logiques.

Notamment :

- L’alternance obligatoire des plis sortants et des plis rentrants.

- Deux plis successifs parallèles maintiennent l’ensemble volumétrique sur une orientation de référence inchangée.

- Si les plis ne sont pas parallèles ou pas alternés, l’ensemble volumétrique suivra une surface de référence complexe non plane. On parlera d’orientation du système ( voir système polaire et orientation spatiale ).

 

 – courbures de surfaces : De par la surface plane d’origine, toutes les surfaces entre des plis sont engendrées par une droite. Elles seront donc soit planes, soit coniques, soit cylindriques. voir exemple : figure précédente G30a.

 

 

2plis polaires :

On parlera de plis polaires pour des plis non parallèles et se joignant en un point commun. Le calcul géométrique est nettement plus complexe que dans le cas des plis parallèles.

Nous essayons ici d’exposer le système du point de vue intuitif. Les expériences en maquettes cartons sont essentielles, et faciles à réaliser.

 

A - Deux plis polaires (non alignés) sont forcément de même signe (sortant ou entrant). Ils engendrent deux surfaces courbes. Ou deux plis supplémentaires (voir plus loin G23).

 

G20aG20a

 

 

B 3 plis polaires de même signes, de même, ne peuvent se plier que s’ils engendrent des surfaces courbes.

G22G22 : Noter que cette configuration n’est pas stable. Le point polaire provoque l’amorce d’un plis sur au moins une face, qui résout du même coup la tension des 3 courbes :

 

G23G23

On peut voir sur l’aile de libellule plusieurs amorces de plis non finis de ce type. Cela semble indiquer comment les plis de l’aile se sont formés au cours d’une évolution spécifique à partir des nervures racinaires. La position des nervures racinaires aurait engendré tout le système plié de l’aile de libellule ?


C plis incident : le quatrième plis, le plis inversé. On appellera plis incident, le plis inverse des trois autres, qui annule les courbures des deux autres surfaces en absorbant la contrainte géométrique de l’ensemble.

 

G23aG23a

 

 

D - plis polaires de signes différents (1 - et 2 + par exemple) : Ne fonctionnent que si le signe – se trouve à l’intérieur d’un angle inférieur à 180 ° des deux signes +. Ils engendrent une surface courbe à l’extérieur de l’angle.

G21aG21a

 

 

 

 

3orientation spatiale :

Nous avons vu, avec les polaires, que les faces prennent des directions différentes dans l’espace. Dans une structure complexe, composée de plusieurs points polaires, la géométrie des plis va influencer notablement sur le développement de la forme globale : plateau, coque, vague, etc… Cette remarque va nous servir dans l’observation de l’aile de libellule.

 



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