Géométrie de l'aile de libellule
La surface pliée des ailes de libellule
Expérimentation et étude morphologique d’un modéliste
The folded surface of the dragonfly wing
A modeller’s experimental and morphological study
Qu'est-ce qu'il y a de commun entre cette boule de papier froissé et une aile de libellule ?
Elles sont toutes deux régies par les lois géométriques des surfaces pliées !
En testant le principe sur l’aile de libellule, j’ai pu constater la justesse de mon observation.
La théorie du pliage de surface correspond parfaitement à la morphologie de l’aile de libellule et répond parfaitement aux contraintes auxquelles elle doit répondre.
A l’heure où je rédige cette thèse, je n’ai trouvé aucun document scientifique sur ce sujet. Qu'on m'excuse par avance si telle étude existe déjà. Je serai ravi d'en indiquer l'auteur, dès connaissance.
Vous pouvez également voir le site de enseeiht. fr sur la théorie du vol des insectes.
Egalement worldLingo, qui contient de nombreuses références.
A01 : L'aile non pliée n'est pas rigide.
A02 : L'aile avec ses plis est rigidifiée par la structure tri-dimmensionnelle ainsi crée. Cette maquette en papier ne comporte pas de nervure et tient uniquement par les plis fidèlement reconstitués par rapport à l'original.
Théorie géométrique des surfaces pliées :
1 - Définition d’une surface pliée :
- toute surface plane non déformable dans son plan, (voir "principe géométrique"). Par exemple, un textile tissée est déformable, une feuille de papier ou d'acier n'est pas déformable.
Cette surface est pliée dans l’espace à trois dimensions par un réseau de plis alternativement convexes et concaves.
A10
Cet exemple de plis a été choisi pour le dessin qu'on retrouve sur l'aile de libellule :
A10a
Les nervures, en vert, correspondent aux principaux plis structurant de l'aile de libellule.
Inversement, le développé d'une telle surface est rabattable sur un plan, sans déchirure :
A11
Note intermédiaire : Il semble que seule l’aile de libellule soit dans cette conformation des plis. L’aile d’abeille, par exemple, ne comporte que des plis de même sens :
Les surfaces entre les plis ne sont pas planes. Ce sont des surface bombées, non développables sur un plan.
Suite de l’étude Libellule :
- Toutes les surfaces comprises entre deux plis sont générées par des droites. Les surfaces générées sont donc soit planes, soit coniques, soit cylindriques.
A20
Cette simulation en carton plié, avec son complexe de courbes, de plis et contre plis, restitue exactement le relief de l'aile de libellule :
A90
- La configuration structurelle (angle, longueur, orientation) des plis est soumise à des règles de géométrie spatiale complexes. Tout plis est directement déterminé par l’ensembles des plis d’une même surface polygonale convexe (sans solution de continuité). Seule une surface limitrophe et reliée à l’ensemble par un seul plis droit accepte un degré de liberté angulaire.
Report "principes géométriques" : On peut voir sur l’aile de libellule plusieurs amorces de plis non finis. Cela semble indiquer comment les plis de l’aile se sont formés au cours d’une évolution spécifique à partir des nervures racinaires. La position des nervures racinaires aurait engendré tout le système plié de l’aile de libellule ?
EVOLUTION :
Remarque préalable : On sait que la libellule fait partie du groupe des insectes primitifs. Le Titanophasma Fayoli, un paleodictyoptera ( paléoptère ) pouvait mesurer jusqu’à 50 cm de longueur. La formation décisive de sa géométrie peut avoir été fondée à ce moment là.
Remarque primordiale : Comme le montre l’exemple de la feuille de papier froissée, le processus qui engendre les plis que nous étudions est très différent d’un processus de déformation évolutive des cellules. Ici les cellules ne se sont pas adaptées dans leur composition moléculaire. C’est l’organe alaire, dans son état, qui a subit une transformation architecturale. Il est intéressant de comparer le plissement de l’aile de libellule au plissement architectonique de la croûte terrestre, sous l’effet d’une poussée tellurique générale, ayant notamment formé les massifs montagneux. Comme si l’aile dans sa géométrie surfacique avait été déformée par un agent extérieur ( Un phénomène dynamique au niveau des racines alaires ? ) et non dans une déformation adaptative organique du système cellulaire.
Cette remarque est particulièrement importante. Car elle propose une théorie de la formation du vivant différente. Me semble-t-il !
2 - Propriétés :
Etant donné que le développé d’une surface pliée est contenu dans un plan (l’inverse de l’opération de pliage), on peut géométriquement affirmer que toute surface pliée, entendue dans sa définition sus-dite, est une structure tri dimensionnelle dont l’économie de matière est optimum, dans son rapport : quantité de matière / volumétrie spatiale. Autrement dit : pour une même structure volumétrique, la surface pliée est la plus économe en matière et en efficacité structurelle du point de vue tridimensionnel. Ce principe est réductible au principe de triangulation sur un plan par lequel chaque facette d'une triangulation est indéformable. Il s'ensuit que l'ensemble est structurellement homéomorphe.
Etant donné que chaque plis, dans ses caractéristiques angulaire, orientation et dimension, est co-déterminé avec tous les autres plis de la même surface entière, toute contrainte exercée sur un plis est répercutée sur tous les plis de cette surface.
Nous avons donc une répartition contingente des déformations et des efforts sur toute , ou partie, de la surface de l’aile.
Notons que toute surface pliée selon cette loi est limité dans sa déformation angulaire, selon une latitude de variation déterminée par la configuration générale des plis qui composent l’ensemble. Cette latitude sera analysée plus loin.
Pour la même raison, l’amplitude angulaire de l’ensemble des plis peut être contrôlée par la seule configuration axiale des nervures costales à leurs racines.
Autrement dit, il serait intéressant de savoir si la libellule est capable de jouer sur celles-ci, et quelles en sont les conséquences aérodynamiques.
Etude détaillée de l’aile de libellule.
Le développement d’un organisme est à la fois plus souple et plus complexe que le modèle géométral auquel on le compare. Dans cette étude il sera donc nécessaire de tenir compte à la fois de la souplesse des éléments membraneux qui composent l’ensemble, du processus de déploiement de l’aile au moment de l’émergence, et des éventuels capacités de l’organisme à faire varier sa géométrie, que ce soit par l’action musculaire ou par la modification, si elle est possible, de la pression hémolymphique de ses nervures.
Nous ne pouvons pas ici approfondir l’étude dans ces domaines, pour des raisons évidentes. Ce travail étant réservé aux spécialistes.
Topologie de la surface pliée de l’aile
En observant l’aile de libellule sous l’éclairage de la théorie des surfaces pliées, nous remarquerons que l’aile comporte différents systèmes de plis qui semblent s’interpénétrer, se compenser, ou se contrarier.
A • Répartition des plis :
A40a
- On remarque d’abord l’alternance des plis sortants et rentrants (Par convention l’aile sera toujours observée à sa partie supérieure. Vue de dessous, les plis seraient évidemment inversés). Les plis hauts (sortants) sont en rouge, les plis bas (rentrants) en bleu.
On compte 4 plis racinaires :
- 2 plis racinaire sortants R1, R2
- 2 plis racinaires rentrants R3, R4
- On remarque également qu’aucun plis ne fait toute la longueur de l’aile. Il y a notamment une rupture en un point nodal.
B • 3 groupes raidisseurs :
- On peut diviser l’ensemble en 3 groupes-systèmes semblables.
Ce sont des systèmes de plis polaires.
A41
A42
Schéma d’un système polaire :
Dans un système polaire, tous les plis convergent vers un centre polaire. Il faut au moins deux plis convergents pour avoir un système polaire. (voir principes géométriques). Jusqu’à 3 plis convergents, la surface se répartie obligatoirement selon des courbes coniques.
- A partir de 4 plis, on peut produire une alternance sortant/rentrant de telle sorte que la surface se distribue selon des plans. C’est ce que l’on retrouve dans les 3 groupes-systèmes répertoriés.
1 et 2 formés par les nervures racinaires de l’aile sont dits sortants (majorité de plis sortants).
3 est formé à partir d’une nervure non racinaire et ses plis sont inverses des deux premiers systèmes, 3 est dit rentrant.
On remarquera que les groupes sortant 1 et rentrant 3 ont un plis en commun P01. Ces deux groupes sont donc solidaire du point de vue géométral.
Un troisième groupe 2bis est constitué d’une partie du groupe 2 et du plis racinaire R4. Nous le ferons apparaître plus loin.
Première constatation : les groupes 1 et 2 dirigent la surface vers le bas, tandis que le groupe 3 dirige la surface vers le haut. Ce qu’on vérifie très bien en observant l’aile de profil :
A60
Deuxième constatation : Ce changement d’orientation se produit au niveau du point nodale.
Troisième constatation : Les deux groupes 1 et 3 intriqués par le plis P01 forment un système structurant qui commande la rigidité globale de l’aile, depuis la racine jusqu’au bout de l’aile.
Mais si l'on considère l'hypothèse où la variation angulaire de l'aile ne se fait que par l'action des nervures racinaires, ce système ne suffit pas à commander la variation angulaire de l'ensemble.
C'est le groupe polaire 2bis, formé par le groupe 2 et le plis rentrant racinaire intermédiaire R4, ainsi associé avec la racine du premier système, qui permet d'engendrer une variation angulaire :
A80
Noter que le groupe sortant 2 :
- comporte des plis d’orientations plus évasées.
- son sommet est notamment remarquable par son relief accentué.
- et il est relativement indépendant du reste des systèmes polaires :
A41a
C • Les faces du bord d’attaque :
A70b
Le premier plis sortant, A, est séparé en deux parties par le point nodal N. Dans sa partie proche du thorax, ce plis est devancé par un plis rentrant, depuis la racine jusqu’au point nodal. Ce plis rentrant est en contradiction avec le principe géométrique théorique des surfaces pliées. Autrement dit, au niveau du point nodal nous devons trouver un concentré d’efforts inhabituels, lesquels sont mis en évidence par la nervure transverse qui matérialise le point nodal. Cette nervure ne participe par au système de plis structurels. Elle semble être là pour assurer une autre fonction.
- Première constatation : Les plans d’attaque C et D sont inversés. Leur jonction au point nodal engendre une torsion de ces deux surfaces qui fait penser au profilage d’une hélice moderne. A savoir : la partie la plus proche du thorax, c’est à dire la moins mobile angulairement, a un angle d’attaque plus efficace qu’à l’extrémité de l’aile. Ce qui correspond à une description de la plupart des insectes ailés.
D – Les parties postérieures de l’aile
Profil général de l’aile :
Les vues en coupes (indiquées en bleu sur cette image) montrent que le profil de l’aile s’aplanit de l’avant vers l’arrière. Tandis que la partie avant est fortement pliée et assure la rigidité de l’envergure, les surface arrières présentent des plis aux angles nettement plus faibles, qui confèrent une certaine souplesse :
A95
A96
En étudiant de près cette partie inférieure, on peut voir deux surfaces pl1 et pl2, qui semblent avoir une certaine mobilité.
Pl1 : il s’agit d’une surface limitrophe susceptible de présenter une latitude angulaire, compte tenu de la courbure du plis qui limite toutefois ce débattement.
Pl2 : Ici on observe un plis particulier pA, qui rompt le plis structurant pB, et semble amorcer une rupture possible. Les pointillés indiquent une pliure possible de la surface pl2 se formant selon divers plis existants. La surface pl2 semble disposer ainsi d’une latitude angulaire.
A noter que, compte tenu des plis rentrants concernés, la latitude angulaire de ces deux surfaces est orientée de préférence vers le haut.
On pourrait avancer également la possibilité suivante :
Si on relâche les plis structurants du groupe 3, il est alors envisageable d’accentuer le plis discontinu pB qui réduirait alors le débattement de la surface pl2.
A96a
Pour le moment, nous ne savons pas si la libellule utilise cette mécanique géométrique assez subtile.
Voir plus loin une tentative de description cinétique au chap : G – mouvement de l’aile en vol.
Autre remarque :
A97
Il existe une autre faiblesse structurelle qui passe par le nodus de l’aile et parcourt le plis rentrant du groupe 3. Le plis du groupe 3 est sollicité de façon importante (croix violette)
Le risque de pliure majeure de l’aile existe bel et bien, toujours vers le haut.
E – Latitude angulaire :
La composition géométrique générale de l’aile n’est pas homogène. Certains plis, comme les plis rouges, peuvent subir une variation angulaire maximum, jusqu’à un angle proche du zéro, notamment au plus proche des racine alaires. D’autres plis, comme les plis bleus, sont dépendants de la capacité des surfaces environnantes à se courber, ou opposent aux plis voisins des incohérences géométriques importantes.
On voit nettement se dessiner une topologie de la latitude de pliage. La partie antérieure de l’aile est plus libre, quoique bloquée en partie par le point nodal (bleu). La partie postérieure dispose d’une plus faible latitude angulaire.
D’une manière générale on voit que les nervures racinaires commandent largement cette gradation de latitude.
F- Comment sont formés les plis
Ici nous posons quelques questions aux biologistes sur la formation des plis.
Nous avons déjà posé comme principe de plicature la question de l’écartement des racines alaires susceptibles de faire varier angulairement le système dans son ensemble.
Mais pour les plis du groupe 3, par exemple, ce principe semble rencontrer une certaine solution de continuité, étant donné que plusieurs plis ne sont pas racinaires et ne subissent que peu d’influence des variations angulaires des autres groupes.
Il faut donc envisager une autre façon de former ou varier les plis, à partir du fonctionnement des nervures elles-mêmes.
1ère question : la configuration angulaire des plis de nervure est-elle rigide, semi rigide, ou libre ?
2ème question : D’après les études existantes que j'ai pu trouver, la nervure est formée d’un tube qui se rempli de liquide hémolymphique au moment de l’émergence, dont la pression met en forme la structure finale de l’aile.
- la pression hémolymphique est-elle constante après l'émergence ?
- le tube constituant la nervure est-il formé d’un tissu extensible ou contractible, susceptible de faire varier l’angle du plis ?
A100 
A101
La biomimétique en question
La biomimétique, on en parle peu, mais avec enthousiasme, et on la pratique quasi secrètement dans l’industrie. J’ai parfois l’impression qu’elle est encore considérée comme honteuse, ou comme un puéril jeu d’enfant. La technologie a produit une pensée dogmatique assez difficile à transgresser encore aujourd’hui. Pourtant Léonard de Vinci faisait déjà de la biomimétique en s’inspirant de l’aile d’oiseau pour dessiner son premier avion. Galilée a conçu le mouvement de la terre en observant les satellites de Jupiter ! Non seulement la biomimétique étudie la nature, mais elle stimule considérablement la recherche en biologie, en botanique, en géologie, etc. Mieux encore, la biomimétique a engendré une biotechnologie qui s’intéresse à toutes les formes, qu’elle soient naturelle ou artificielles, qui invente par elle-même et qui stimule énormément la recherche en biologie. C’est un nouveau champ d’imaginaire qui s’ouvre depuis quelques années. Les monuments les plus innovants sont conçus sur la base de l’origami, un « art mineur » venu d’orient …
Nous profitons de cette « biotechnologie attitude » pour aller plus loin dans nos hypothèses, partant de nos observations de l’aile de libellule, vers des inventions techniques qui sont peut-être à redécouvrir dans le monde animal lui-même.
En effet, imaginons que nous voulions réaliser une aile artificielle de libellule. Nous pouvons alors très bien proposer un système tubulaire à géométrie variable selon le croquis suivant :
La nervure serait formée de deux tubes parallèles, l’un à l’extérieur du plis, l’autre à l’intérieur :
Une variation de pression entre ces deux tubes permettrait de contrôler précisément la variation angulaire du plis :
A102 
A103
C’est alors que nous ne pouvons pas nous empêcher d’évoquer le phénomène des plantes à feuilles rétractiles, et supposer chez l’insecte un système semblable dans la variation de pression hémolymphique.
G– mouvement de l’aile en vol
La configuration des racines alaires, nous l’avons vu, est particulière. Le détail de l’implantation des racines semble plus complexe.
Il s’agit de voir comment cet ensemble des quatre racines est mis en mouvement lors du battement de l’aile. Et quels en sont les conséquences sur la variation angulaire des plis.
Les ailes sont appuyées sur un pivot autour duquel elle bascule selon l’effort exercé par des muscles releveurs ou abaisseur situés de part et d’autre de ce pivot.
Réf : Guide des libellules de France et d’Europe – K.-D.B. Dijkstra ( Illustrations R. Lewington - Ed Guides du naturaliste)
On sait que la libellule comporte un ensemble de muscles composé de :
- un muscle releveur des ailes.
- un grand muscle abaisseur antérieur des ailes : sert au vole rapide.
- un grand muscle abaisseur postérieur des ailes : sert au vol stationnaire
- les deux muscles abaisseurs ensemble servent au vol calme et habituel
- 4 petits muscles supplémentaires de chaque groupe provoquent les torsions variées des ailes pour les mouvements brusques, le vol vertical, etc…
Une étude en biomimétisme, dont j’ai pu visionner un document montre un vol de libellule au ralenti. Il semble que le mouvement des ailes de la libellule soit différents des autres insectes ailés. Ces dernier présentent un mouvement complexe de torsion en forme de 8 , alors que les ailes de la libellule semble seulement battre sur un plan vertical, avec alternance entre ailes antérieures et ailes postérieures.
La dynamique qui en résulte se présente comme un vortex qui pousse et souteint la libellule en l’air. Je ne peux en dire plus pour le moment, attendant de communiquer avec les chercheurs. Mais on peut avancer déjà que les plis de l’aile ne sont pas étrangers à ce système aérodynamique de propulsion.
H- Irisation et variations angulaires
Récemment un chercheur, Ekaterina Shevtsova, des collègues de l’université de Lund en Suède et des biologistes de l’université de Pennsylvanie (Science et Vie n°1123 – avril 2011), ont découvert que les ailes des insectes volants avaient des surface irisées, visibles lorsqu’on observe celle-ci sur un fond noir. On sait que la couleur d’un rayon ressortant des micro trous de surface est variable selon l’angle d’incidence de la lumière entrant et sortant. Il est donc tout à fait possible d’imaginer que les angles variés des cellules constituées par les plis de l’aile de libellule produisent des motifs spécifiques. Si de surcroît ces angles sont variables, on peut imaginer que les libellules puissent « lire » dans quel état se trouve l’individu exposé.